笔记内容来源于《金融数量分析-基于MATLAB编程（第4版）》。

按揭的通俗意义就是指用预购的商品房进行贷款抵押。它是指按揭人将预购的物业产权转让于按揭受益人（银行）作为还款保证，还款后，按揭受益人将物业的产权转让给按揭人。
具体地说，按揭贷款是指购房者以所预购的房屋作为抵押品而从银行获得贷款，购房者按照按揭契约中规定的归还方式和期限分期付款给银行；银行按一定的利率收取利息。如果贷款人违约，那么银行有权收走房屋。

1 按揭贷款还款方式

1）等额还款

借款人每期以相等的金额偿还贷款，按还款周期逐期归还，在贷款截至日期前偿还全部本息。例如，贷款30万元，20年还款期，每月还款4000元。

2）等额本金还款

借款人每期需偿还等额本金，同时付清本期应付的贷款利息，而每期归还的本金等于贷款总额除以贷款期数。实际每期还款总额为递减数列。

3）等额递增还款

借款人每期以等额还款为基础，以每次及那个固定期数还款额增加一个固定金额的方式还款（如三年期贷款，每隔12个月增加还款100元，若第一年每月还款1000元，则第二年每月还款1100元，第三年为1200元）。此种还款方式适用于当前收入较低，但收入曲线呈上升趋势的年轻客户。

4）等额递减还款

借款人每期以等额还款为基础，以每次间隔固定期数还款额减少一个固定金额的方式还款（如三年期贷款，每隔12个月减少还款100元，若第一年每月还款1000元，则第二年每年还款900元，第三年为800元）。此种还款方式适用于当前收入较高，或有一定积蓄可用于还款的客户。

5）按期付息还款

借款人按期还本，按一间隔期（还本间隔）等额偿还贷款本金，再按另一间隔期（还息间隔）定期结息，如每三个月偿还一次贷款本金，每月偿还贷款利息。此种还款方式适合使用季度、年度奖金进行还款的客户。

6）到期还本还款

借款人在整个贷款期间不归还任何本金，在贷款到期日一次全部还清贷款本金。贷款利息可按月、按季或到期偿还，也可以在贷款到期日一次性偿还。
等额还款和等额本金还款是最主要的两种还款方式，其余几种基本上都是从这两种方式的基础上衍生出来的。

2 等额还款模型

借款人每期以相等的金额偿还贷款，按还款周期逐期归还，在贷款截止日前全部还清本息。
参数假设：
R：月贷款利率
B：总借款额
MP：月还款额（每月还款的钱，一部分还总借款额B，一部分还利息）
n：还款期
1.根据月初贷款余额计算该月还款额中的现金流，包括支付利息和偿还本金，月还款总额一定。

1
2
3

YE(t + 1) = YE(t) -BJ(t) 
BJ(t) = MP - IR(t)
IR(t) = YE(t) * R

YE(t)为月初贷款余额；IR(t)为月利息偿还额；BJ(t)为本月金额偿还额；t = 1，……，n。
2.随着如期缴纳最后一期月供贷款，贷款全部还清，即YE(t) = 0。
通常情况下，贷款总额和利息是已知的，月还款额与还款期限未定，根据上述等额还款模型，月还款期限存在着关联关系，当YE(1) = B时，计算YE(t + 1) = YE(t) - BJ(t) = 0,得到MP的值，最后的还款余额为0。 
通过MATLAB编程，等额还款模型的函数语法如下：
F = AJfixPayment(MP, Num, B, Rate)
输入参数：
MP:每月还款总额
Num:还款期数
B:贷款总额
Rate:贷款利率
输出参数：
F：最后的贷款余额

function F = AJfixPayment(MP, Num, B, Rate)
%初始化相关变量，初始值为0
IR = zeros(1, Nums);
YE = zeros(1, Nums);
BJ = zeros(1, Nums);
%第1期贷款本金
YE(1) = B;
for i = 1 : Num
        %第1期应还利息
        IR(i) = Rate * YE(i);
        %第i期归还的本金 = 第i期还款 - 第i期利息
        BJ(i) = MP - IR(i);
        %非最后一次还款
        if i < Num
        %第i + 1期本金 = 第i期本金 - 第i期归还的本金
        YE(i + 1) = YE(i) - BJ(i);
        end
    end
%目标函数
F = B - sum(BJ);
end

注：zeros(1, Num)表示预先设置一个Num维行零向量（注明零向量很有必要，因为最后要用sum函数，不能随便初始化，比如ones）。
例1：
贷款50万元，10年还款共120期，年贷款利率5%，若每月还款5000元，则贷款余额为多少？（月利率为年利率5%除以12）：

%还款次数
Num = 12 * 10;
%贷款余额
B = 5e5;
%月利率
Rate = 0.05/12;
%每次还款5000元
MP =5000;
F = AJfixPayment(MP, Num, B, Rate)

输出结果如下：

F =

   4.7093e+04

结算结果为4709.3元，即贷款余额为4709.3元。
使用fsolve函数求出合适的MP值，使得在120次还款后，贷款余额为0（fsolve函数，即求解x，使得F(x) = 0,求任意贷款余额的方法，构建G(x) = F(x) + a, a为任意正数）。
代码如下：

Num = 12 * 10;
B = 5e5;
Rate = 0.05 / 12;
%搜索初始值
MPo = 1000;
%调用fsolve函数求解
MP = fsolve(@(MP)AJfixPayment(MP, Num, B, Rate), MPo)

输出结果如下：

MP =

   5.3033e+03

计算结果为5303.3元，即贷款50万元，10年还款总共120期，年贷利率5%，若每月还款5303.3元，则10年（即还款120期）后贷款余额为0。
注：fslove是MATLAB最主要的求解多变量方程与方程组的函数。
函数语法：
[x, fval, exitflag, output, jacobian] = fsolve(fun, x0, options)
输入参数：
fun：目标函数，一般使用M文件形式给出；
x0：优化算法初始迭代点；
options：参数设置。
输出参数：
x：最优点输出（或最后迭代点）。
fval：最优点（或最后迭代点）对应的函数值。
exitflag：函数结束信息（具体参见MATLAB Help）。
output：函数基本信息，包括迭代次数、目标函数最大计算次数、使用算法名称、计算规模；
jacobian：Jaobian矩阵（主要用来判断是否得到有效解）。
等额还款模型具有解析解：

等额还款模型.gif

MP为月还款额；R为月贷利率；B为总借款额；n为还款期限。

3 等额本金还款模型与计算

借款人每期需偿还等额本金，同时付清本期应付的贷款利息，而每期归还的本金等于贷款总额除以贷款期数。
参数设置：
R：月贷款利率；
B：借款总额；
MB：月还本金；
n：还款期。
1.根据月初贷款余额计算该月还款额中的现金流，包括支付的利息和偿还得本金，月还款本金一定。

MB = B / n
YE(1) = B
YE(t + 1) = YE(t) - MB
MP(t) = MB + R * YE(t)
IR(t) = R * YE(t)

式中：YE(t)为月初贷款余额；IR(t)为月利息偿还额；MP(t)为月还款总额；t = 1,……，n。
2 随着如期缴纳最后一期月供贷款，贷款全部还清，即YE(n) = 0.
等额本金还款得计算比较简单，函数语法如下：
MP = AJvarPayment(Num, B, Rate)
输入参数：
Num：还款期数；
B：贷款总额；
Rate：贷款利率。
输出参数：

function MP = AJvarPayment(Num, B, Rate)
MP = zeros(1, Num);
YE = zeros(1, Num);
MB = B / Num;
YE = B - cumsum([0, MB * ones(1, Num - 1)]);
MP = MB + Rate * YE;

cumsum(X)函数是累加函数，例如若X = [1, 2, 3, 4, 5, 6]，则cumsum(X) = [1, 3, 6, 10, 15, 21]。
例2：
假设贷款50万元，10年还款工120期，年贷款利率5%，采用等额本金还款方式，则每月还款总额为多少？
求解代码如下：

Num = 12 * 10;
B = 5e5;
Rate = 0.05 / 12;
MP = AJvarPayment(Num, B, Rate)

输出结果如下：


MP =

   1.0e+03 *

  1 至 14 列

    6.2500    6.2326    6.2153    6.1979    6.1806    6.1632    6.1458    6.1285    6.1111    6.0938    6.0764    6.0590    6.0417    6.0243

  15 至 28 列

    6.0069    5.9896    5.9722    5.9549    5.9375    5.9201    5.9028    5.8854    5.8681    5.8507    5.8333    5.8160    5.7986    5.7813

  29 至 42 列

    5.7639    5.7465    5.7292    5.7118    5.6944    5.6771    5.6597    5.6424    5.6250    5.6076    5.5903    5.5729    5.5556    5.5382

  43 至 56 列

    5.5208    5.5035    5.4861    5.4688    5.4514    5.4340    5.4167    5.3993    5.3819    5.3646    5.3472    5.3299    5.3125    5.2951

  57 至 70 列

    5.2778    5.2604    5.2431    5.2257    5.2083    5.1910    5.1736    5.1563    5.1389    5.1215    5.1042    5.0868    5.0694    5.0521

  71 至 84 列

    5.0347    5.0174    5.0000    4.9826    4.9653    4.9479    4.9306    4.9132    4.8958    4.8785    4.8611    4.8438    4.8264    4.8090

  85 至 98 列

    4.7917    4.7743    4.7569    4.7396    4.7222    4.7049    4.6875    4.6701    4.6528    4.6354    4.6181    4.6007    4.5833    4.5660

  99 至 112 列

    4.5486    4.5312    4.5139    4.4965    4.4792    4.4618    4.4444    4.4271    4.4097    4.3924    4.3750    4.3576    4.3403    4.3229

  113 至 120 列

    4.3056    4.2882    4.2708    4.2535    4.2361    4.2187    4.2014    4.1840

>>

4 还款方式比较

通过上两例可以画出等额本金以及等额本息还款得对比图：

 ... ... %例2中等额本金程序
plot(m,(5.3033e+03)*ones(1,Num), 'r-');%例1中求得等额本息      
hold on
plot(m, MP, 'b-');

xlabel('还款序列t');
ylabel('还款金额/元');

legend('MPFix','MPVar');

以贷款50万元，10年还款工120期，年贷款利率5%为例，等额还款方式得还款总额为636390元，等额本金还款方式得总额为626040元，从数量上讲等额本金方式的总还款额较少。
但是如果考虑到货币得时间价值，PV(MPFix) = PV(MPVar) = 5000元，两种还款方式得现值都是相等的。

5 提前还款违约金估算

商业银行的盈利模式之一为吸收存款，放出贷款后的存贷差。以上述贷款案例为例，若贷款50万元，10年还款共120期，年贷款利率5%，则采用等额还款方式计算出MP = 5303.3元，银行的贷款利率为5%，如果其存款利率为4%(仅为假设数据)，则现金流现值MATLAB计算代码如下：

RATE = 0.04 / 12;
N = 10 * 12;
Payment = 5303.3;
pv = pvfix(RATE, N, Payment)

输出结果如下：

1
2
3

pv =

   5.2381e+05

若按照4%的年化利率贴现，则现值为523810元，即若不考虑运营成本，则银行侧壁贷款的利润为23810元。
若在第5年末提前还款，即提前60期还款，则每期5303.3元，贴现率分别为4%、5%，现金流现值MATLAB计算代码如下：

RATE1 = 0.04 / 12;
RATE2 = 0.05 / 12;
N = 5 * 12;
Payment = 5303.3;
pv1 = pvfix(RATE1, N, Payment)
pv2 = pvfix(RATE2, N, Payment)
pv1 - pv2

输出结果如下：

pv1 =

   2.8796e+05


pv2 =

   2.8103e+05


ans =

   6.9386e+03

结果分析：贴现率分别为4%、5%的现金流现值为287960元，281030元，提前还款给银行造成的损失为6938.6元。
以上计算均为示例计算，贴现率均为假设。
注：60期并未把款全部还完，还需在第5年末把剩余的额度用完，如果存贷款利率不同，最后还款也将给银行带来损失。